Упр.21.12 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение $$\sqrt{x^2+6x+9}-\sqrt{x^2-10x+25}$$, если:

а) $$-8\le x\le -3$$;

б) $$-11

в) $$-3\le x\le 2$$;

г) $$0\le x\le 5$$;

д) $$7

е) $$5\le x\le 10$$.

Преобразуем выражение:

$$\sqrt{x^2+6x+9}-\sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{(x+3)^2}-\sqrt{(x-5)^2}=|x+3|-|x-5|.$$

Далее раскрываем модuli по заданным промежуткам.

1. Если $$-8\le x\le -3,$$ то $$x+3\le 0$$ и $$x-5\le 0.$$ Тогда

   $$|x+3|-|x-5|=-(x+3)-(-(x-5))=-x-3+x-5=-8.$$

2. Если $$-11<x<-5,$$ то $$x+3<0$$ и $$x-5<0.$$ Тогда

   $$|x+3|-|x-5|=-(x+3)-(-(x-5))=-x-3+x-5=-8.$$

3. Если $$-3\le x\le 2,$$ то $$x+3\ge 0$$ и $$x-5<0.$$ Тогда

   $$|x+3|-|x-5|=(x+3)-(-(x-5))=x+3+x-5=2x-2.$$

4. Если $$0\le x\le 5,$$ то $$x+3\ge 0$$ и $$x-5\le 0.$$ Тогда

   $$|x+3|-|x-5|=(x+3)-(-(x-5))=x+3+x-5=2x-2.$$

5. Если $$7<x<12,$$ то $$x+3>0$$ и $$x-5>0.$$ Тогда

   $$|x+3|-|x-5|=(x+3)-(x-5)=x+3-x+5=8.$$

6. Если $$5\le x\le 10,$$ то $$x+3\ge 0$$ и $$x-5\ge 0.$$ Тогда

   $$|x+3|-|x-5|=(x+3)-(x-5)=x+3-x+5=8.$$

Ответ

а) $$-8$$; б) $$-8$$; в) $$2x-2$$; г) $$2x-2$$; д) $$8$$; е) $$8$$.