Упр.19.24 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}|x|,&\text{если }x<1;\\-\sqrt{x},&\text{если }x\geqslant1.\end{cases}$$ При каких значениях параметра $$p$$ прямая $$y=p$$ с графиком данной функции:
   а) имеет две общие точки;
   б) имеет одну общую точку;
   в) не имеет ни одной общей точки;
   г) имеет не менее трёх общих точек?

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} |x|, & x<1,\\ -\sqrt{x}, & x\ge 1. \end{cases}$$

Рассмотрим, сколько общих точек с графиком функции имеет горизонтальная прямая $$y=p$$.

1) При $$x<1$$ имеем $$y=|x|$$. Здесь значения функции лежат в промежутке $$[0;+\infty)$$, но точка $$x=1$$ не входит в эту часть графика, поэтому значение $$y=1$$ достигается только при $$x=-1$$, а значение $$y=0$$ — при $$x=0$$.

2) При $$x\ge 1$$ имеем $$y=-\sqrt{x}$$. Здесь значения функции лежат в промежутке $$(-\infty;-1]$$, так как при $$x=1$$ получаем $$y=-1$$, а дальше значения убывают.

Следовательно:

• если $$0<p<1$$, то прямая $$y=p$$ пересекает ветвь $$y=|x|$$ в двух точках;
• если $$p=0$$, то есть одна общая точка;
• если $$p\le -1$$, то есть одна общая точка на ветви $$y=-\sqrt{x}$$;
• если $$p\ge 1$$, то есть одна общая точка на ветви $$y=|x|$$;
• если $$-1<p<0$$, то общих точек нет.

Ответ

а) $$0<p<1$$;
б) $$p=0,\; p\le -1,\; p\ge 1$$;
в) $$-1<p<0$$;
г) таких $$p$$ не существует.