Упр.16.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$\left(\frac{y}{x+y}-\frac{y^2}{y^2-x^2}\right):\left(\frac{y^2}{x+y}-\frac{y^3}{x^2+2xy+y^2}\right);$$
   б) $$\left(\frac{y}{2y-4}-\frac{y^2+4}{2y^2-8}-\frac{2}{y^2+2y}\right):\frac{y-2}{y^2+4y+4}.$$

а)

$$\left(\frac{y}{x+y}-\frac{y^2}{y^2-x^2}\right):\left(\frac{y^2}{x+y}-\frac{y^3}{x^2+2xy+y^2}\right)$$

Разложим знаменатели на множители:

$$y^2-x^2=(y-x)(y+x), \qquad x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$$

Тогда

$$\frac{y}{x+y}-\frac{y^2}{(y-x)(x+y)} = \frac{y(y-x)-y^2}{(x+y)(y-x)} = \frac{xy-y^2}{(x+y)(y-x)} = \frac{y(x-y)}{(x+y)(y-x)} = -\frac{y}{x+y}$$

$$\frac{y^2}{x+y}-\frac{y^3}{(x+y)^2} = \frac{y^2(x+y)-y^3}{(x+y)^2} = \frac{xy^2}{(x+y)^2}$$

Теперь делим дроби:

$$-\frac{y}{x+y}:\frac{xy^2}{(x+y)^2} = -\frac{y}{x+y}\cdot\frac{(x+y)^2}{xy^2} = -\frac{x+y}{xy}$$

б)

$$\left(\frac{y}{2y-4}-\frac{y^2+4}{2y^2-8}-\frac{2}{y^2+2y}\right):\frac{y-2}{y^2+4y+4}$$

Разложим знаменатели:

$$2y-4=2(y-2), \qquad 2y^2-8=2(y-2)(y+2), \qquad y^2+2y=y(y+2), \qquad y^2+4y+4=(y+2)^2$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{y}{2(y-2)}-\frac{y^2+4}{2(y-2)(y+2)}-\frac{2}{y(y+2)} = \frac{y^2(y+2)-y(y^2+4)-4(y-2)}{2y(y-2)(y+2)}$$

$$= \frac{y^3+2y^2-y^3-4y-4y+8}{2y(y-2)(y+2)} = \frac{2(y-2)^2}{2y(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{y(y+2)}$$

Теперь делим на дробь:

$$\frac{y-2}{y(y+2)}:\frac{y-2}{(y+2)^2} = \frac{y-2}{y(y+2)}\cdot\frac{(y+2)^2}{y-2} = \frac{y+2}{y}$$

Ответ

а) $$-\frac{x+y}{xy}$$

б) $$\frac{y+2}{y}$$