Упр.16.14 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года
Решите уравнение:
- а) $$\frac{y}{2y-1}=\frac{1}{y}$$;
- в) $$\frac{3x^2+1}{2x}=x+1$$;
- д) $$\frac{2x^2-13}{x-2}=x+2$$;
- б) $$\frac{5x^2-36}{6x}=x-2$$;
- г) $$\frac{4y+y^2}{y+2}=\frac{2y}{3}$$;
- е) $$\frac{2x^2-5}{x+1}=x-1$$.
Задание учебника 2019 года
Решите уравнение:
- а) $$\frac{x^2-1}{x-3}=\frac{3x-1}{x-3}$$;
- б) $$\frac{x^2+3}{x}=\frac{2x+3}{x}$$;
- в) $$\frac{x^2-15}{x+5}=\frac{10}{x+5}$$;
- г) $$\frac{16+3x^2}{x-4}=\frac{4x^2}{x-4}$$;
- д) $$\frac{x^2-8x}{x-6}=\frac{4x-36}{x-6}$$;
- е) $$\frac{x^2+16x}{x+5}=\frac{6x-25}{x+5}$$.
а)
$$\frac{y}{2y-1}=\frac{1}{y}, \qquad y\neq 0,\; 2y-1\neq 0$$
$$y^2=2y-1$$
$$y^2-2y+1=0$$
$$\left(y-1\right)^2=0$$
$$y=1$$
б)
$$\frac{5x^2-36}{6x}=x-2, \qquad x\neq 0$$
$$5x^2-36=6x(x-2)$$
$$5x^2-36=6x^2-12x$$
$$x^2-12x+36=0$$
$$\left(x-6\right)^2=0$$
$$x=6$$
в)
$$\frac{3x^2+1}{2x}=x+1, \qquad x\neq 0$$
$$3x^2+1=2x(x+1)$$
$$3x^2+1=2x^2+2x$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
г)
$$\frac{4y+y^2}{y+2}=\frac{2y}{3}, \qquad y\neq -2$$
$$3(4y+y^2)=2y(y+2)$$
$$12y+3y^2=2y^2+4y$$
$$y^2+8y=0$$
$$y(y+8)=0$$
$$y=0 \text{ или } y=-8$$
д)
$$\frac{2x^2-13}{x-2}=x+2, \qquad x\neq 2$$
$$2x^2-13=(x+2)(x-2)$$
$$2x^2-13=x^2-4$$
$$x^2=9$$
$$x=-3 \text{ или } x=3$$
е)
$$\frac{2x^2-5}{x+1}=x-1, \qquad x\neq -1$$
$$2x^2-5=(x-1)(x+1)$$
$$2x^2-5=x^2-1$$
$$x^2=4$$
$$x=-2 \text{ или } x=2$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$6$$; в) $$1$$; г) $$-8,\;0$$; д) $$-3,\;3$$; е) $$-2,\;2$$.
а)
$$\frac{x^2-1}{x-3}=\frac{3x-1}{x-3}, \qquad x\neq 3$$
$$x^2-1=3x-1$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=3$$
Так как $$x=3$$ не подходит, получаем $$x=0$$.
б)
$$\frac{x^2+3}{x}=\frac{2x+3}{x}, \qquad x\neq 0$$
$$x^2+3=2x+3$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
Так как $$x=0$$ не подходит, получаем $$x=2$$.
в)
$$\frac{x^2-15}{x+5}=\frac{10}{x+5}, \qquad x\neq -5$$
$$x^2-15=10$$
$$x^2=25$$
$$x=5 \text{ или } x=-5$$
Так как $$x=-5$$ не подходит, получаем $$x=5$$.
г)
$$\frac{16+3x^2}{x-4}=\frac{4x^2}{x-4}, \qquad x\neq 4$$
$$16+3x^2=4x^2$$
$$x^2=16$$
$$x=-4 \text{ или } x=4$$
Так как $$x=4$$ не подходит, получаем $$x=-4$$.
д)
$$\frac{x^2-8x}{x-6}=\frac{4x-36}{x-6}, \qquad x\neq 6$$
$$x^2-8x=4x-36$$
$$x^2-12x+36=0$$
$$\left(x-6\right)^2=0$$
$$x=6$$
Но $$x=6$$ не подходит, значит корней нет.
е)
$$\frac{x^2+16x}{x+5}=\frac{6x-25}{x+5}, \qquad x\neq -5$$
$$x^2+16x=6x-25$$
$$x^2+10x+25=0$$
$$\left(x+5\right)^2=0$$
$$x=-5$$
Но $$x=-5$$ не подходит, значит корней нет.
Ответ
а) $$0$$; б) $$2$$; в) $$5$$; г) $$-4$$; д) корней нет; е) корней нет.
