Упр.16.11 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что выражение $$\frac{12a-4a^2}{2a+3}+\frac{1}{2a-3}:\left(\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27}\right)$$ при любых допустимых значениях переменной $$a$$ принимает одно и то же значение.

Рассмотрим выражение

$$\frac{12a-4a^2}{2a+3}+\frac{1}{2a-3}:\left(\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27}\right).$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$4a^2-9=(2a-3)(2a+3),$$

$$8a^3+27=(2a+3)(4a^2-6a+9),$$

$$6a-9=3(2a-3).$$

Тогда

$$\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27} = \frac{4}{(2a-3)(2a+3)}-\frac{3(2a-3)}{(2a+3)(4a^2-6a+9)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4(4a^2-6a+9)-3(2a-3)^2}{(2a-3)(2a+3)(4a^2-6a+9)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$4(4a^2-6a+9)-3(2a-3)^2 =16a^2-24a+36-(12a^2-36a+27) =4a^2+12a+9 =(2a+3)^2.$$

Значит,

$$\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27} = \frac{(2a+3)^2}{(2a-3)(2a+3)(4a^2-6a+9)} = \frac{2a+3}{(2a-3)(4a^2-6a+9)}.$$

Теперь вычислим деление:

$$\frac{1}{2a-3}:\frac{2a+3}{(2a-3)(4a^2-6a+9)} = \frac{1}{2a-3}\cdot\frac{(2a-3)(4a^2-6a+9)}{2a+3} = \frac{4a^2-6a+9}{2a+3}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{12a-4a^2}{2a+3}+\frac{4a^2-6a+9}{2a+3} = \frac{12a-4a^2+4a^2-6a+9}{2a+3} = \frac{6a+9}{2a+3} = \frac{3(2a+3)}{2a+3} =3.$$

Следовательно, при всех допустимых значениях переменной выражение принимает одно и то же значение.

Ответ

$$3$$