Упр.12.17 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{7mn}{(n-m)(n+m)},\ \frac{n^2}{n+m},\ \frac{m^2}{n-m}$$

   Наименьший общий знаменатель:

   $$(n-m)(n+m)=n^2-m^2$$

   Тогда:

   $$\frac{7mn}{(n-m)(n+m)}=\frac{7mn}{n^2-m^2},\qquad \frac{n^2}{n+m}=\frac{n^2(n-m)}{n^2-m^2},\qquad \frac{m^2}{n-m}=\frac{m^2(n+m)}{n^2-m^2}$$

2. б) $$\frac{a-2}{(a-3)(a+3)},\ \frac{a^2}{a+3},\ \frac{3}{a-3}$$

   Наименьший общий знаменатель:

   $$(a-3)(a+3)=a^2-9$$

   Тогда:

   $$\frac{a-2}{(a-3)(a+3)}=\frac{a-2}{a^2-9},\qquad \frac{a^2}{a+3}=\frac{a^2(a-3)}{a^2-9},\qquad \frac{3}{a-3}=\frac{3(a+3)}{a^2-9}$$

3. в) $$\frac{6b}{25-b^2},\ \frac{b-5}{b+5},\ \frac{b+5}{b-5}$$

   Так как $$25-b^2=(5-b)(5+b)=-(b-5)(b+5),$$ то наименьший общий знаменатель равен $$b^2-25.$$

   Тогда:

   $$\frac{6b}{25-b^2}=\frac{-6b}{b^2-25},\qquad \frac{b-5}{b+5}=\frac{(b-5)^2}{b^2-25},\qquad \frac{b+5}{b-5}=\frac{(b+5)^2}{b^2-25}$$

4. г) $$\frac{a+x}{a-x},\ \frac{2ax}{a^2-x^2},\ \frac{a-x}{a+x}$$

   Так как $$a^2-x^2=(a-x)(a+x),$$ то наименьший общий знаменатель равен $$a^2-x^2.$$

   Тогда:

   $$\frac{a+x}{a-x}=\frac{(a+x)^2}{a^2-x^2},\qquad \frac{2ax}{a^2-x^2}=\frac{2ax}{a^2-x^2},\qquad \frac{a-x}{a+x}=\frac{(a-x)^2}{a^2-x^2}$$

5. д) $$\frac{1}{(a-4)^2},\ \frac{a^2+16}{a^2-16},\ \frac{1}{(a+4)^2}$$

   Так как $$a^2-16=(a-4)(a+4),$$ то наименьший общий знаменатель равен $$(a-4)^2(a+4)^2.$$

   Тогда:

   $$\frac{1}{(a-4)^2}=\frac{(a+4)^2}{(a-4)^2(a+4)^2},$$
   $$\frac{a^2+16}{a^2-16}=\frac{(a^2+16)(a^2-16)}{(a-4)^2(a+4)^2}=\frac{a^4-256}{(a-4)^2(a+4)^2},$$
   $$\frac{1}{(a+4)^2}=\frac{(a-4)^2}{(a-4)^2(a+4)^2}$$

6. е) $$\frac{y+1}{(1-y)^2},\ \frac{1-y}{(1+y)^2},\ \frac{y^2+1}{y^2-1}$$

   Так как $$y^2-1=(y-1)(y+1),$$ то наименьший общий знаменатель равен $$(y-1)^2(y+1)^2.$$

   Тогда:

   $$\frac{y+1}{(1-y)^2}=\frac{(y+1)^3}{(y-1)^2(y+1)^2},\qquad \frac{1-y}{(1+y)^2}=\frac{-(y-1)^3}{(y-1)^2(y+1)^2},\qquad \frac{y^2+1}{y^2-1}=\frac{(y^2+1)(y^2-1)}{(y-1)^2(y+1)^2}=\frac{y^4-1}{(y-1)^2(y+1)^2}$$

7. Вычислите:

   а) $$\frac12+1\frac13-2\frac16$$

   $$\frac12+\frac43-\frac{13}{6}=\frac36+\frac86-\frac{13}{6}=\frac{11}{6}-\frac{13}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac13$$

   б) $$2\frac34-\left(\frac23+1\frac56\right)$$

   $$2\frac34-\left(\frac23+1\frac56\right)=\frac{11}{4}-\left(\frac23+\frac{11}{6}\right)=\frac{11}{4}-\left(\frac46+\frac{11}{6}\right)=\frac{11}{4}-\frac{15}{6}=\frac{11}{4}-\frac52=\frac14$$

   в) $$1\frac{5}{12}-\left(\frac12-\frac58\right)$$

   $$1\frac{5}{12}-\left(\frac12-\frac58\right)=\frac{17}{12}-\left(\frac48-\frac58\right)=\frac{17}{12}-\left(-\frac18\right)=\frac{17}{12}+\frac18=\frac{34}{24}+\frac{3}{24}=\frac{37}{24}=1\frac{13}{24}$$

Ответ

а) $$\frac{7mn}{n^2-m^2},\ \frac{n^2(n-m)}{n^2-m^2},\ \frac{m^2(n+m)}{n^2-m^2}$$

б) $$\frac{a-2}{a^2-9},\ \frac{a^2(a-3)}{a^2-9},\ \frac{3(a+3)}{a^2-9}$$

в) $$\frac{-6b}{b^2-25},\ \frac{(b-5)^2}{b^2-25},\ \frac{(b+5)^2}{b^2-25}$$

г) $$\frac{(a+x)^2}{a^2-x^2},\ \frac{2ax}{a^2-x^2},\ \frac{(a-x)^2}{a^2-x^2}$$

д) $$\frac{(a+4)^2}{(a-4)^2(a+4)^2},\ \frac{a^4-256}{(a-4)^2(a+4)^2},\ \frac{(a-4)^2}{(a-4)^2(a+4)^2}$$

е) $$\frac{(y+1)^3}{(y-1)^2(y+1)^2},\ \frac{-(y-1)^3}{(y-1)^2(y+1)^2},\ \frac{y^4-1}{(y-1)^2(y+1)^2}$$

а) $$-\frac13$$

б) $$\frac14$$

в) $$1\frac{13}{24}$$