Упр.5.8 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что на графике функции $$y=\sqrt{3}\cdot x$$ имеется только одна точка, у которой абсцисса и ордината — целые числа. Постройте график этой функции.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{3}\,x.$$

Графику этой функции принадлежит точка $$(0;0).$$

Предположим, что на графике есть ещё одна точка с целыми координатами $$(a;b).$$ Тогда она удовлетворяет уравнению

$$b=\sqrt{3}\,a.$$

Если $$a\neq 0,$$ то

$$\sqrt{3}=\frac{b}{a}.$$

Правая часть — рациональное число, а $$\sqrt{3}$$ — иррациональное. Получаем противоречие.

Значит, точка $$(0;0)$$ — единственная точка графика с целыми абсциссой и ординатой.

График функции — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $$\sqrt{3}.$$ Для построения можно отметить, например, точки $$(0;0)$$ и $$(1;\sqrt{3}).$$

Ответ

Единственная точка с целыми координатами на графике — $$(0;0).$$ График — прямая $$y=\sqrt{3}\,x.$$