Упр.5.6 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что:
а) число $$5+\sqrt{3}$$ является иррациональным;
б) сумма чисел $$3+\sqrt{2}$$ и $$3-\sqrt{2}$$ — число иррациональное;
в) произведение чисел $$\sqrt{7}+\sqrt{13}$$ и $$\sqrt{7}-\sqrt{17}$$ — число иррациональное;
г) число $$1-\sqrt{11}$$ является иррациональным;
д) сумма чисел $$5+\sqrt{6}$$ и $$7-\sqrt{6}$$ — число иррациональное;
е) произведение чисел $$\sqrt{11}+\sqrt{21}$$ и $$\sqrt{21}-\sqrt{11}$$ — число иррациональное.

Подробный ответ

Пусть $$r=5+\sqrt{3}.$$ Предположим, что $$r$$ — рациональное число. Тогда
$$\sqrt{3}=r-5.$$
Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, она рациональна. Получаем, что $$\sqrt{3}$$ рационально, что невозможно. Следовательно, $$5+\sqrt{3}$$ — иррациональное число.
$$\left(3+\sqrt{2}\right)+\left(3-\sqrt{2}\right)=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6.$$
Это рациональное число.
$$\left(\sqrt{7}+\sqrt{13}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{17}\right)=7-\sqrt{119}+\sqrt{91}-\sqrt{221}.$$
Так как в выражении остаются иррациональные слагаемые, полученное число иррационально.
Пусть $$r=1-\sqrt{11}.$$ Предположим, что $$r$$ — рациональное число. Тогда
$$\sqrt{11}=1-r.$$
Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, она рациональна. Получаем, что $$\sqrt{11}$$ рационально, что невозможно. Следовательно, $$1-\sqrt{11}$$ — иррациональное число.
$$\left(5+\sqrt{6}\right)+\left(7-\sqrt{6}\right)=5+\sqrt{6}+7-\sqrt{6}=12.$$
Это рациональное число.
$$\left(\sqrt{11}+\sqrt{21}\right)\left(\sqrt{21}-\sqrt{11}\right)=\left(\sqrt{21}\right)^2-\left(\sqrt{11}\right)^2=21-11=10.$$
Это рациональное число.