Упр.24.42 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

$$y=\begin{cases}x+1, & x<0;\\-x^2+2x+3, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ -x^2+2x+3, & x\ge 0. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x<0$$ имеем линейную функцию $$y=x+1$$. Это прямая с угловым коэффициентом $$1$$, но берётся только её часть при $$x<0$$. В точке $$x=0$$ значение этой формулы равно $$1$$, но точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график, так как $$x<0$$.

2) При $$x\ge 0$$ имеем параболу $$y=-x^2+2x+3$$, ветви которой направлены вниз. Найдём вершину:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2\cdot(-1)}=1,$$

$$y_0=-1^2+2\cdot1+3=4.$$

Значит, вершина параболы — $$\left(1;4\right)$$, и это наибольшее значение функции.

Найдём нули функции:

$$-x^2+2x+3=0$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$(x-3)(x+1)=0$$

$$x=3 \text{ или } x=-1.$$

С учётом области определения второй части $$x\ge 0$$ подходит только $$x=3$$. Для первой части при $$x<0$$ получаем $$x+1=0$$, значит $$x=-1$$.

Определим промежутки знакопостоянства:

$$y>0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup[0;3),$$

то есть в целом

$$y>0 \text{ при } x\in(-1;3).$$

А отрицательна функция при

$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$$

Область определения — все действительные числа:

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Область значений: левая часть даёт все значения меньше $$1$$, правая часть — значения не выше $$4$$, поэтому

$$E(y)=(-\infty;4].$$

Функция ограничена сверху числом $$4$$, но снизу не ограничена. Наибольшее значение равно $$4$$, наименьшего значения нет.

Ответ

$$D(y)=(-\infty;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;4].$$

$$y>0 \text{ при } x\in(-1;3),\quad y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$$

$$y_{\max}=4,\quad y_{\min}\text{ не существует}.$$