Упр.22.42 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а) Используя графики функций $$y=-x^2+4$$ и $$y=x+2$$, решите неравенство $$x+2\leq -x^2+4$$.
   б) Используя графики функций $$y=x^2-2$$ и $$y=-|x|+4$$, решите неравенство $$x^2-2<-|x|+4$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$x+2\le -x^2+4.$$

Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$x+2=-x^2+4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2+x-2=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$

Отсюда

$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=1.$$

По графику видно, что прямая $$y=x+2$$ не выше параболы $$y=-x^2+4$$ на отрезке между точками пересечения, то есть при

$$x\in[-2;1].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$x^2-2<-|x|+4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2+|x|-6<0.$$

Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем

$$t^2+t-6<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+3\right)\left(t-2\right)<0.$$

Отсюда

$$-3<t<2.$$

Так как $$t=|x|\ge 0$$, то остаётся

$$0\le |x|<2,$$

то есть

$$-2<x<2.$$

По графику это соответствует промежутку, где парабола $$y=x^2-2$$ ниже графика $$y=-|x|+4$$.

Ответ

а) $$x\in[-2;1]$$; б) $$x\in(-2;2)$$.