Упр.21.17 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) на отрезке $$[4;7]$$; б) на луче $$(-\infty;1]$$; в) на луче $$[4;+\infty)$$; г) на полуинтервале $$(3;7]$$.

Рассмотрим функцию $$y=\frac{4}{x-3}.$$ Это гипербола с вертикальной асимптотой $$x=3.$$

На каждом из указанных промежутков определим, где функция принимает наименьшее и наибольшее значения.

1. На отрезке $$[4;7]$$ функция убывает, поэтому:

   наибольшее значение достигается при $$x=4$$:

   $$y_{\max}=\frac{4}{4-3}=4,$$

   наименьшее значение достигается при $$x=7$$:

   $$y_{\min}=\frac{4}{7-3}=1.$$

2. На луче $$(-\infty;1]$$ функция убывает. При $$x\to -\infty$$ значение $$y$$ стремится к $$0^-$$, а при $$x=1$$:

   $$y=\frac{4}{1-3}=-2.$$

   Значит, наименьшее значение равно $$-2$$, а наибольшего значения нет.

3. На луче $$[4;+\infty)$$ функция убывает. При $$x=4$$:

   $$y=\frac{4}{4-3}=4,$$

   а при $$x\to +\infty$$ значение $$y$$ стремится к $$0^+$$.

   Значит, наибольшее значение равно $$4$$, а наименьшего значения нет.

4. На полуинтервале $$(3;7]$$ функция убывает. При $$x=7$$:

   $$y=\frac{4}{7-3}=1,$$

   а при $$x\to 3+$$ значение $$y\to +\infty.$$

   Значит, наименьшее значение равно $$1$$, а наибольшего значения нет.

Ответ

а) $$y_{\min}=1,\; y_{\max}=4$$;

б) $$y_{\min}=-2,$$ наибольшего значения нет;

в) $$y_{\max}=4,$$ наименьшего значения нет;

г) $$y_{\min}=1,$$ наибольшего значения нет.