Упр.20.20 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Используя графики функций $$y=\frac{2}{x}$$ и $$y=0{,}5x$$: а) определите, при каких значениях $$x$$ прямая расположена ниже гиперболы; б) решите неравенство $$0{,}5x>\frac{2}{x}$$.

Найдём, где график прямой $$y=0{,}5x$$ расположен ниже графика гиперболы $$y=\frac{2}{x}$$. Это означает, что нужно решить неравенство

$$0{,}5x<\frac{2}{x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$0{,}5x-\frac{2}{x}<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{0{,}5x^2-2}{x}<0.$$

Умножим числитель на 2:

$$\frac{x^2-4}{2x}<0.$$

Так как $$2>0$$, получаем равносильное неравенство

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x}<0.$$

Критические точки: $$x=-2,\;x=0,\;x=2.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• при $$x<-2$$ выражение отрицательно;
• при $$-2<x<0$$ выражение положительно;
• при $$0<x<2$$ выражение отрицательно;
• при $$x>2$$ выражение положительно.

Значит, прямая ниже гиперболы при

$$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2).$$

Это же множество является решением неравенства $$0{,}5x<\frac{2}{x}$$.

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2).$$

б) $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2).$$