Упр.8 Вариант 2 Контрольная работа 1 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(x^{-2}-y^{-2}\right)\left(\frac{1}{x^{-1}}-\frac{1}{y^{-1}}\right)^{-2}$$.

$$\left(x^{-2}-y^{-2}\right)\left(\frac1{x^{-1}}-\frac1{y^{-1}}\right)^{-2} = \left(\frac1{x^2}-\frac1{y^2}\right)\left(x-y\right)^{-2}$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$\frac1{x^2}-\frac1{y^2} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2} = \frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}.$$

Тогда
$$\left(\frac1{x^2}-\frac1{y^2}\right)(x-y)^{-2} = \frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2}\cdot \frac1{(x-y)^2}.$$

Так как $$x-y=-(y-x)$$, то $$(x-y)^2=(y-x)^2$$, и получаем:
$$\frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2(y-x)^2} = \frac{y+x}{x^2y^2(y-x)}.$$

Ответ

$$\frac{x+y}{x^2y^2(y-x)}$$