Упр.97 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а) Вычислите $$\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$3x^2-2x-6=0$$.
   б) Вычислите $$x_1^3+x_2^3$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+x-5=0$$.

а) По теореме Виета для уравнения $$3x^2-2x-6=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=\frac{2}{3}, \qquad x_1x_2=-2.$$

Тогда

$$\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2} =\frac{3x_2+3x_1}{x_1x_2} =\frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2} =\frac{3\cdot \frac{2}{3}}{-2} =-1.$$

б) Для уравнения $$x^2+x-5=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-1, \qquad x_1x_2=-5.$$

Используем формулу:

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\bigr).$$

Найдём выражение в скобках:

$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2.$$

Тогда

$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr) =-1\bigl((-1)^2-3\cdot(-5)\bigr) =-1(1+15)=-16.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-16$$.