Упр.91 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ вершина параболы $$y=ax^2+6x-5$$ отстоит от начала координат на 5 единичных отрезков?

Найдём координаты вершины параболы $$y=ax^2+6x-5$$.

Абсцисса вершины:

$$x_0=\frac{-6}{2a}=-\frac{3}{a}.$$

Ордината вершины:

$$y_0=a\left(-\frac{3}{a}\right)^2+6\left(-\frac{3}{a}\right)-5=\frac{9}{a}-\frac{18}{a}-5=-\frac{9}{a}-5.$$

По условию вершина отстоит от начала координат на $$5$$ единичных отрезков, значит:

$$\left(-\frac{3}{a}\right)^2+\left(-\frac{9}{a}-5\right)^2=5^2.$$

Решим уравнение:

$$\frac{9}{a^2}+\left(\frac{81}{a^2}+\frac{90}{a}+25\right)=25$$

$$\frac{90}{a^2}+\frac{90}{a}=0$$

Умножим на $$a^2$$:

$$90+90a=0$$

$$a=-1.$$

Ответ

$$a=-1$$