Упр.64 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x^2+4x+3, & \text{если } x<-1,\\-x^2+1, & \text{если } x\geq -1.\end{cases}$$ С помощью графика определите, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень, два корня, три корня.

Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} x^2+4x+3, & x<-1,\\ -x^2+1, & x\ge -1. \end{cases}$$

1) Для ветви $$y=x^2+4x+3$$ при $$x<-1$$ имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Преобразуем:

$$x^2+4x+3=(x+2)^2-1.$$

Её вершина: $$(-2;\,-1)$$. При $$x=-1$$ получаем $$f(-1)= -(-1)^2+1=0$$, значит точка $$(-1;0)$$ принадлежит второй ветви.

2) Для ветви $$y=-x^2+1$$ при $$x\ge -1$$ имеем параболу, ветви которой направлены вниз. Её вершина: $$(0;1)$$.

По графику определяем число решений уравнения $$f(x)=p$$, то есть число точек пересечения графика с горизонтальной прямой $$y=p$$.

• Если $$p<-1$$ или $$p>1$$, прямая пересекает график один раз.
• Если $$p=-1$$ или $$p=1$$, прямая пересекает график два раза.
• Если $$-1<p<1$$, прямая пересекает график три раза.

Ответ

Один корень при $$p\in(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$.

Два корня при $$p=-1$$ и $$p=1$$.

Три корня при $$p\in(-1;\,1)$$.