Упр.129 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. а) $$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1$$;
   б) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$$;
   в) $$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1$$;
   г) $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}$$.

1. $$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1$$

   ОДЗ: $$x-1\ge 0,\; x+4\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$

   Перенесём корень и возведём в квадрат:

   $$2\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4}$$
   $$4(x-1)=1+2\sqrt{x+4}+x+4$$
   $$3x-9=2\sqrt{x+4}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$(3x-9)^2=4(x+4)$$
   $$9x^2-54x+81=4x+16$$
   $$9x^2-58x+65=0$$

   $$D=58^2-4\cdot 9\cdot 65=1024,\quad \sqrt D=32$$
   $$x_{1,2}=\frac{58\pm 32}{18}$$
   $$x_1=\frac{13}{9},\quad x_2=5$$

   Оба корня подходят.

2. $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$$

   ОДЗ: $$x+3\ge 0,\; 2x-1\ge 0,\; 3x-2\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac23.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+3-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}+2x-1=3x-2$$
   $$4=2\sqrt{2x^2+5x-3}$$
   $$2=\sqrt{2x^2+5x-3}$$
   $$4=2x^2+5x-3$$
   $$2x^2+5x-7=0$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=81,\quad \sqrt D=9$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}$$
   $$x_1=1,\quad x_2=-\frac72$$

   По ОДЗ подходит только $$x=1.$$

3. $$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1$$

   ОДЗ: $$x+6\ge 0,\; x-2\ge 0,$$ значит $$x\ge 2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+6=1+4\sqrt{x-2}+4(x-2)$$
   $$-3x+13=4\sqrt{x-2}$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$(13-3x)^2=16(x-2)$$
   $$169-78x+9x^2=16x-32$$
   $$9x^2-94x+201=0$$

   $$D=94^2-4\cdot 9\cdot 201=1600,\quad \sqrt D=40$$
   $$x_{1,2}=\frac{94\pm 40}{18}$$
   $$x_1=3,\quad x_2=\frac{67}{9}$$

   Оба корня подходят.

4. $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}$$

   ОДЗ: $$x+1\ge 0,\; x-2\ge 0,\; 2x-5\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac52.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+1-2\sqrt{(x+1)(x-2)}+x-2=2x-5$$
   $$4=2\sqrt{x^2-x-2}$$
   $$2=\sqrt{x^2-x-2}$$
   $$4=x^2-x-2$$
   $$x^2-x-6=0$$

   $$D=1+24=25,\quad \sqrt D=5$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
   $$x_1=-2,\quad x_2=3$$

   По ОДЗ подходит только $$x=3.$$

Ответ

а) $$x=\frac{13}{9},\; 5$$; б) $$x=1$$; в) $$x=3$$; г) $$x=3$$.