Упр.38.11 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Упростите и вычислите с точностью до 0,1:

а) $$\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}$$;

б) $$\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}$$.

а)

$$\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt5}} =\sqrt{3-\sqrt{(3-2\sqrt5)^2}} =\sqrt{3-|3-2\sqrt5|}$$

Так как $$3-2\sqrt5<0,$$ то
$$|3-2\sqrt5|=2\sqrt5-3.$$
Тогда
$$\sqrt{3-|3-2\sqrt5|} =\sqrt{3-(2\sqrt5-3)} =\sqrt{6-2\sqrt5}.$$

Заметим, что
$$6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2.$$
Значит,
$$\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt{(\sqrt5-1)^2}=|\sqrt5-1|=\sqrt5-1.$$

$$\sqrt5-1\approx 2{,}236-1=1{,}236\approx 1{,}2.$$

б)

$$\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}} =\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt3}}.$$

Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$13+4\sqrt3=(1+2\sqrt3)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}} =\sqrt{5-\sqrt{(1+2\sqrt3)^2}} =\sqrt{5-|1+2\sqrt3|}.$$

Так как $$1+2\sqrt3>0,$$ то
$$|1+2\sqrt3|=1+2\sqrt3.$$
Следовательно,
$$\sqrt{5-(1+2\sqrt3)} =\sqrt{4-2\sqrt3}.$$

Заметим, что
$$4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2.$$
Значит,
$$\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=|\sqrt3-1|=\sqrt3-1.$$

$$\sqrt3-1\approx 1{,}732-1=0{,}732\approx 0{,}7.$$

Ответ

а) $$1{,}2$$; б) $$0{,}7$$.