Упр.34.2 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Сколько различных квадратных уравнений можно составить таким образом, выбирая:

1. корень $$x_1$$ из чисел $$1, 2$$, а корень $$x_2$$ из чисел $$5, 6$$;
2. корень $$x_1$$ из чисел $$1, 2, 3$$, а корень $$x_2$$ из чисел $$4, 5, 6$$;
3. оба корня из чисел $$2, 3, 4$$, если совпадение корней допустимо;
4. оба корня из чисел $$2, 3, 4$$, если корни должны быть различными?

Квадратное уравнение с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ можно составить в виде $$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Число различных уравнений равно числу различных пар корней.

1. $$x_1 \in \{1,2\}, \quad x_2 \in \{5,6\}.$$

   Для каждого из 2 значений $$x_1$$ можно выбрать 2 значения $$x_2$$, значит:

   $$2 \cdot 2 = 4.$$

2. $$x_1 \in \{1,2,3\}, \quad x_2 \in \{4,5,6\}.$$

   Для каждого из 3 значений $$x_1$$ можно выбрать 3 значения $$x_2$$, значит:

   $$3 \cdot 3 = 9.$$

3. $$x_1 \in \{2,3,4\}, \quad x_2 \in \{2,3,4\},$$ совпадение корней допустимо.

   Тогда число пар:

   $$3 \cdot 3 = 9.$$

   Но пары $$(2,2), (3,3), (4,4)$$ дают одинаковые корни и соответствуют трём уравнениям, а остальные пары образуют ещё три различных уравнения с разными корнями. Итого:

   $$6.$$

4. $$x_1 \in \{2,3,4\}, \quad x_2 \in \{2,3,4\},$$ корни должны быть различными.

   Всего упорядоченных пар с различными корнями:

   $$3 \cdot 2 = 6.$$

   Но уравнения с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ не отличаются от уравнений с корнями $$x_2$$ и $$x_1$$, поэтому делим на 2:

   $$\frac{6}{2}=3.$$

Ответ

а) $$4$$; б) $$9$$; в) $$6$$; г) $$3$$.