Упр.33.20 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. 30.20. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$$;
   б) $$\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+1}=2$$;
   в) $$\sqrt{x-1}-\sqrt{6-x}=1$$;
   г) $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=2$$.

1. $$\sqrt{15-x}+\sqrt{3-x}=6$$
   
   Перенесём один корень:
   $$\sqrt{15-x}=6-\sqrt{3-x}$$
   Возведём в квадрат:
   $$15-x=36-12\sqrt{3-x}+3-x$$
   $$12\sqrt{3-x}=24$$
   $$\sqrt{3-x}=2$$
   $$3-x=4,\quad x=-1$$
   Проверка:
   $$\sqrt{15-(-1)}+\sqrt{3-(-1)}=\sqrt{16}+\sqrt{4}=4+2=6$$
2. $$\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+1}=2$$
   Перенесём второй корень:
   $$\sqrt{3x+7}=2+\sqrt{x+1}$$
   Возведём в квадрат:
   $$3x+7=4+4\sqrt{x+1}+x+1$$
   $$2x+2=4\sqrt{x+1}$$
   $$x+1=2\sqrt{x+1}$$
   Возведём в квадрат ещё раз:
   $$(x+1)^2=4(x+1)$$
   $$x^2+2x+1=4x+4$$
   $$x^2-2x-3=0$$
   $$(x-3)(x+1)=0$$
   $$x=3 \text{ или } x=-1$$
   Проверка:
   $$x=-1:\ \sqrt{4}-\sqrt{0}=2$$
   $$x=3:\ \sqrt{16}-\sqrt{4}=2$$
3. $$\sqrt{x-1}-\sqrt{6-x}=1$$
   Перенесём второй корень:
   $$\sqrt{x-1}=1+\sqrt{6-x}$$
   Возведём в квадрат:
   $$x-1=1+2\sqrt{6-x}+6-x$$
   $$2x-8=2\sqrt{6-x}$$
   $$x-4=\sqrt{6-x}$$
   Возведём в квадрат:
   $$(x-4)^2=6-x$$
   $$x^2-8x+16=6-x$$
   $$x^2-7x+10=0$$
   $$(x-2)(x-5)=0$$
   $$x=2 \text{ или } x=5$$
   Проверка:
   $$x=2:\ \sqrt{1}-\sqrt{4}=1-2\ne 1$$
   $$x=5:\ \sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1$$
4. $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}=2$$
   Перенесём один корень:
   $$\sqrt{x-2}=2-\sqrt{x+3}$$
   Возведём в квадрат:
   $$x-2=4-4\sqrt{x+3}+x+3$$
   $$4\sqrt{x+3}=9$$
   $$\sqrt{x+3}=\frac{9}{4}$$
   Тогда
   $$x+3=\frac{81}{16},\quad x=\frac{33}{16}$$
   Проверка:
   $$\sqrt{\frac{33}{16}-2}+\sqrt{\frac{33}{16}+3} =\sqrt{\frac{1}{16}}+\sqrt{\frac{81}{16}} =\frac14+\frac94=\frac{10}{4}\ne 2$$
   Значит, корней нет.

Ответ

а) $$x=-1$$; б) $$x=-1,\ 3$$; в) $$x=5$$; г) корней нет.