Упр.30.31 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

1. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше её знаменателя. Если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на $$\frac{1}{12}$$. Найдите эту дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+1$$.

По условию, если из числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на $$\frac{1}{12}$$. Составим уравнение:

$$\frac{x}{x+1}-\frac{x-1}{x}=\frac{1}{12}$$

Приведём к общему знаменателю и умножим обе части на $$12x(x+1)$$:

$$12x^2-12(x-1)(x+1)=x(x+1)$$

$$12x^2-12(x^2-1)=x^2+x$$

$$12x^2-12x^2+12=x^2+x$$

$$x^2+x-12=0$$

Разложим на множители:

$$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0$$

Отсюда:

$$x=-4 \quad \text{или} \quad x=3$$

Проверим:

если $$x=-4$$, то знаменатель $$x+1=-3$$, дробь $$\frac{-4}{-3}$$ не подходит по условию задачи;

если $$x=3$$, то знаменатель $$x+1=4$$, дробь равна $$\frac{3}{4}$$.

Ответ

$$\frac{3}{4}$$