Упр.6.24 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Докажите, что выражение при любых допустимых значениях переменной $$a$$ принимает одно и то же значение.

Преобразуем выражение:

$$\frac{12a-4a^2}{2a+3}+\frac{1}{2a-3}:\left(\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27}\right).$$

Разложим знаменатели на множители:

$$4a^2-9=(2a-3)(2a+3), \qquad 8a^3+27=(2a+3)(4a^2-6a+9).$$

Тогда

$$\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27} = \frac{4}{(2a-3)(2a+3)}-\frac{6a-9}{(2a+3)(4a^2-6a+9)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4(4a^2-6a+9)-(6a-9)(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)(4a^2-6a+9)}.$$

Числитель:

$$4(4a^2-6a+9)-(6a-9)(2a-3)$$
$$=16a^2-24a+36-(12a^2-36a+18a-27)$$
$$=4a^2+12a+9=(2a+3)^2.$$

Значит,

$$\frac{4}{4a^2-9}-\frac{6a-9}{8a^3+27} = \frac{(2a+3)^2}{(2a-3)(2a+3)(4a^2-6a+9)} = \frac{2a+3}{(2a-3)(4a^2-6a+9)}.$$

Теперь деление заменим умножением на обратную дробь:

$$\frac{1}{2a-3}:\frac{2a+3}{(2a-3)(4a^2-6a+9)} = \frac{1}{2a-3}\cdot \frac{(2a-3)(4a^2-6a+9)}{2a+3} = \frac{4a^2-6a+9}{2a+3}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{12a-4a^2}{2a+3}+\frac{4a^2-6a+9}{2a+3} = \frac{12a-4a^2+4a^2-6a+9}{2a+3} = \frac{6a+9}{2a+3}.$$

$$\frac{6a+9}{2a+3}=\frac{3(2a+3)}{2a+3}=3.$$

Следовательно, при любых допустимых значениях переменной выражение равно 3.

Ответ

$$3$$