Упр.6.15 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

6. Докажите тождество.

Преобразуем левую часть тождества:

$$\left(\frac{8y^2+2y}{8y^3-1}-\frac{2y+1}{4y^2+2y+1}\right)\cdot \left(1+\frac{2y+1}{2y}-\frac{4y^2+10y}{4y^2+2y}\right):\frac1{2y}$$

Сначала упростим первую скобку:

$$\frac{8y^2+2y}{8y^3-1}-\frac{2y+1}{4y^2+2y+1} = \frac{2y(4y+1)}{(2y-1)(4y^2+2y+1)}-\frac{2y+1}{4y^2+2y+1}$$

$$= \frac{2y(4y+1)-(2y+1)(2y-1)}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} = \frac{4y^2+2y+1}{(2y-1)(4y^2+2y+1)} = \frac1{2y-1}$$

Теперь упростим вторую скобку:

$$1+\frac{2y+1}{2y}-\frac{4y^2+10y}{4y^2+2y} = 1+\frac{2y+1}{2y}-\frac{4y^2+10y}{2y(2y+1)}$$

$$= \frac{4y^2+2y+(2y+1)^2-(4y^2+10y)}{2y(2y+1)} = \frac{4y^2-4y+1}{2y(2y+1)} = \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)}$$

Тогда

$$\frac1{2y-1}\cdot \frac{(2y-1)^2}{2y(2y+1)}:\frac1{2y} = \frac{2y-1}{2y(2y+1)}\cdot 2y = \frac{2y-1}{2y+1}$$

Правая часть совпадает с полученным результатом, значит тождество верно.

Ответ

$$\frac{2y-1}{2y+1}$$