Упр.6.14 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а)

$$\frac{k-4}{k-2}:\left(\frac{80k}{k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k}\right)-\frac{6k+4}{(4-k)^2}$$

Так как $$k^3-8=(k-2)(k^2+2k+4)$$, а $$2-k=-(k-2)$$ и $$4-k=-(k-4)$$, получаем:

$$\frac{80k}{k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k} = \frac{80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4)}{(k-2)(k^2+2k+4)}$$

$$= \frac{k^3-12k^2+48k-64}{k^3-8} = \frac{(k-4)^3}{k^3-8}$$

Тогда

$$\frac{k-4}{k-2}:\frac{(k-4)^3}{k^3-8} = \frac{k-4}{k-2}\cdot\frac{k^3-8}{(k-4)^3} = \frac{k^3-8}{(k-2)(k-4)^2}$$

Но $$k^3-8=(k-2)(k^2+2k+4)$$, значит

$$\frac{k^3-8}{(k-2)(k-4)^2} = \frac{k^2+2k+4}{(k-4)^2}$$

$$\frac{6k+4}{(4-k)^2}=\frac{6k+4}{(k-4)^2}$$

Следовательно,

$$\frac{k^2+2k+4}{(k-4)^2}-\frac{6k+4}{(k-4)^2} = \frac{k^2-4k}{(k-4)^2} = \frac{k(k-4)}{(k-4)^2} = \frac{k}{k-4}$$

б)

$$\left(\frac{m-n}{(m+n)^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}+\frac{m+n}{(m-n)^2}\right):\frac{8mn^2}{m^4-n^4}+\frac{2n^2}{n^2-m^2}$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{m-n}{(m+n)^2}-\frac{2m}{m^2-n^2}+\frac{m+n}{(m-n)^2} = \frac{8mn^2}{(m^2-n^2)^2}$$

Так как $$m^4-n^4=(m^2-n^2)(m^2+n^2)$$, то

$$\frac{8mn^2}{(m^2-n^2)^2}:\frac{8mn^2}{m^4-n^4} = \frac{8mn^2}{(m^2-n^2)^2}\cdot\frac{m^4-n^4}{8mn^2} = \frac{m^4-n^4}{(m^2-n^2)^2} = \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$$

Кроме того,

$$\frac{2n^2}{n^2-m^2}=-\frac{2n^2}{m^2-n^2}$$

Тогда

$$\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}-\frac{2n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2-n^2}{m^2-n^2} = 1$$

Ответ

а) $$\frac{k}{k-4}$$; б) $$1$$.