Упр.6.11 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Задача

6.11. Упростите выражение:

Подробный ответ

а)

$$\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}\right):\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)$$

Разложим знаменатели на множители:
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$
Тогда
$$\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b)^2} =\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b)^2} =\frac{a^2b}{(a+b)^2},$$
а также
$$\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a+b)(a-b)} =\frac{a(a-b)-a^2}{(a+b)(a-b)} =\frac{-ab}{(a+b)(a-b)}.$$
Следовательно,
$$\frac{a^2b}{(a+b)^2}:\frac{-ab}{(a+b)(a-b)} =\frac{a^2b}{(a+b)^2}\cdot\frac{(a+b)(a-b)}{-ab} =-\frac{a(a-b)}{a+b} =\frac{a(b-a)}{a+b}.$$

б)

$$\frac{z-2}{4z^2+16z+16}:\left(\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z}\right)$$

Разложим знаменатели:
$$4z^2+16z+16=4(z+2)^2,\quad 2z-4=2(z-2),\quad 2z^2-8=2(z-2)(z+2),\quad z^2+2z=z(z+2).$$
Тогда
$$\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z} = \frac{z}{2(z-2)}-\frac{z^2+4}{2(z-2)(z+2)}-\frac{2}{z(z+2)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{z(z+2)-\bigl(z^2+4\bigr)-4(z-2)}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z^2+2z-z^2-4-4z+8}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{2(z-2)^2}{2z(z-2)(z+2)} = \frac{z-2}{z(z+2)}.$$
Теперь делим:
$$\frac{z-2}{4(z+2)^2}:\frac{z-2}{z(z+2)} = \frac{z-2}{4(z+2)^2}\cdot\frac{z(z+2)}{z-2} = \frac{z}{4(z+2)}.$$