Упр.21.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$3x^2+ax-7=0$$ равна $$\frac{46}{9}$$?

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$3x^2+ax-7=0$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{a}{3}, \qquad x_1x_2=-\frac{7}{3}.$$

По условию

$$x_1^2+x_2^2=\frac{46}{9}.$$

Используем формулу

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим значения суммы и произведения корней:

$$\left(-\frac{a}{3}\right)^2-2\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{46}{9}.$$

Получаем

$$\frac{a^2}{9}+\frac{14}{3}=\frac{46}{9}.$$

Умножим на $$9$$:

$$a^2+42=46.$$

$$a^2=4,$$

откуда

$$a=\pm 2.$$

Ответ

$$a=\pm 2$$