Упр.17.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите равенство $$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{2}.$$

Подробный ответ

Преобразуем левую часть:

$$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$$

Заметим, что

$$2+\sqrt{3}=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2,\qquad 2-\sqrt{3}=\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2.$$

Тогда

$$\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}+\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}} + \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}-\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}}$$

$$= \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}} + \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{\sqrt{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}.$$

Поскольку

$$\sqrt{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}} \quad \text{и} \quad \sqrt{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}$$

в соответствующих знаменателях, получаем

$$\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{2\sqrt{2}} + \frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{2\sqrt{2}}.$$

Сложим дроби:

$$\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}{2\sqrt{2}} = \frac{2\cdot \frac{3}{2}+2\cdot \frac{1}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$$

Следовательно, левая часть равна правой части.