Упр.17.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$$;
$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем каждый член суммы, умножив и разделив на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1,$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2},$$
$$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}, \quad \ldots \quad \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}.$$

Тогда сумма имеет вид:

$$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}).$$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому получаем:

$$\sqrt{100}-1=10-1=9.$$

2) Аналогично:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3},$$
$$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{8-5}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3},$$
$$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{11-8}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3},$$
$$\ldots,\quad \frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{50-47}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}.$$

Складываем:

$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}+\cdots+\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}$$
$$=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3}.$$

Так как $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$ то

$$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$