Упр.17.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значением выражения является рациональное число: 1) $$\frac{6}{3+2\sqrt{3}}+\frac{6}{3-2\sqrt{3}}$$; 2) $$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}}$$.

1) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{6}{3+2\sqrt{3}}+\frac{6}{3-2\sqrt{3}}= \frac{6(3-2\sqrt{3})+6(3+2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})}$$

$$=\frac{18-12\sqrt{3}+18+12\sqrt{3}}{9-(2\sqrt{3})^2} =\frac{36}{9-12} =\frac{36}{-3} =-12$$

Получили рациональное число.

2) Аналогично:

$$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{11}+\sqrt{6})^2+(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11}-\sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6})}$$

$$=\frac{(11+2\sqrt{66}+6)+(11-2\sqrt{66}+6)}{11-6} =\frac{34}{5}$$

Это рациональное число.

Ответ

1) $$-12$$; 2) $$\frac{34}{5}$$.