Упр.16.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Сократите дробь: 1) $$\frac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}},\ a\ne 0$$; 2) $$\frac{b+\sqrt{ab}}{\sqrt{-b}}$$; 3) $$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a}+\sqrt{-b}}$$.

1. $$\frac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}$$

   Если $$a>0$$ и $$b>0$$, то

   $$\frac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}} = \frac{a+\sqrt{a}\sqrt{b}}{b+\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{b}+\sqrt{a})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.$$

   Если $$a<0$$ и $$b<0$$, то

   $$\frac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt{-a})^2+\sqrt{-a}\sqrt{-b}}{(\sqrt{-b})^2+\sqrt{-a}\sqrt{-b}} = \frac{\sqrt{-a}(\sqrt{-a}+\sqrt{-b})}{\sqrt{-b}(\sqrt{-b}+\sqrt{-a})} = \frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}.$$

2. $$\frac{b+\sqrt{ab}}{\sqrt{-b}}$$

   Так как $$b<0$$, то $$a\le 0$$. Тогда

   $$\frac{b+\sqrt{ab}}{\sqrt{-b}} = \frac{(\sqrt{-b})^2+\sqrt{-a}\sqrt{-b}}{\sqrt{-b}} = \frac{\sqrt{-b}(\sqrt{-b}+\sqrt{-a})}{\sqrt{-b}} = \sqrt{-b}+\sqrt{-a}.$$

3. $$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a}+\sqrt{-b}}$$

   По условию $$a<0$$ и $$b<0$$, значит

   $$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a}+\sqrt{-b}} = \frac{(\sqrt{-a})^2+(\sqrt{-b})^2+2\sqrt{-a}\sqrt{-b}}{\sqrt{-a}+\sqrt{-b}} = \frac{(\sqrt{-a}+\sqrt{-b})^2}{\sqrt{-a}+\sqrt{-b}} = \sqrt{-a}+\sqrt{-b}.$$

Ответ

1) $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$; 2) $$\sqrt{-a}+\sqrt{-b}$$; 3) $$\sqrt{-a}+\sqrt{-b}$$.