Упр.15.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Число $$1+\sqrt{2}$$ является корнем уравнения $$x^2+px+q=0$$, где $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа. Найдите $$p$$ и $$q$$.

Подставим корень $$x=1+\sqrt{2}$$ в уравнение $$x^2+px+q=0$$:

$$(1+\sqrt{2})^2+(1+\sqrt{2})p+q=0$$

Раскроем скобки:

$$1+2\sqrt{2}+2+p+\sqrt{2}p+q=0$$

$$3+\sqrt{2}(2+p)+p+q=0$$

Перенесём рациональную и иррациональную части:

$$\sqrt{2}(2+p)=-(p+q+3)$$

Так как $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа, то левая часть содержит множитель $$\sqrt{2}$$, а правая часть рациональна. Значит, обе части равны нулю:

$$2+p=0$$

$$p+q+3=0$$

Отсюда:

$$p=-2$$

$$-2+q+3=0$$

$$q=-1$$

Ответ

$$p=-2,\ q=-1$$