Упр.15.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Пусть $$\frac{m}{n}$$ и $$\frac{p}{q}$$ — рациональные числа, где $$m,p \in \mathbb{Z}$$, $$n,q \in \mathbb{N}$$.

Тогда:

$$\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{mq+pn}{nq}=\frac{s}{t},$$
где $$s \in \mathbb{Z}$$, $$t \in \mathbb{N}$$, значит, $$\frac{s}{t} \in \mathbb{Q}$$.

$$\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{mq-pn}{nq}=\frac{a}{t},$$
где $$a \in \mathbb{Z}$$, $$t \in \mathbb{N}$$, значит, $$\frac{a}{t} \in \mathbb{Q}$$.

$$\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}=\frac{c}{t},$$
где $$c \in \mathbb{Z}$$, $$t \in \mathbb{N}$$, значит, $$\frac{c}{t} \in \mathbb{Q}$$.

$$\frac{m}{n}:\frac{p}{q}=\frac{m}{n}\cdot\frac{q}{p}=\frac{mq}{np}=\frac{d}{t},$$
где $$d \in \mathbb{Z}$$, $$t \in \mathbb{N}$$, значит, $$\frac{d}{t} \in \mathbb{Q}$$.

Следовательно, сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Ответ

Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел — рациональные числа.