Упр.1150 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   1) $$(2b-1)(b+2)<(3b-1)(2b+1);$$
   2) $$25m^2+n^2\geq10mn;$$
   3) $$2a^2-4a+5>0;$$
   4) $$x^2+x+1>0;$$
   5) $$4y^2-12\geq12y-21;$$
   6) $$a^2+b^2+2\geq2(a+b);$$
   7) $$a^2+b^2+c^2+3\geq2(a+b+c);$$
   8) $$2a^2+5b^2+2ab+1>0;$$
   9) $$x^2+y^2+15>6x+4y.$$

1. $$\begin{aligned} (2b-1)(b+2) < (3b-1)(2b+1) \\ 2b^2+3b-2 < 6b^2+b-1 \\ 0 < 4b^2-2b+1 \end{aligned}$$
   Так как
   $$4b^2-2b+1=\left(2b-\frac12\right)^2+\frac34>0,$$
   неравенство верно при любых значениях $$b$$.

2. $$\begin{aligned} 25m^2+n^2 ≥ 10mn \\ 25m^2-10mn+n^2 ≥ 0 \\ (5m-n)^2 ≥ 0 \end{aligned}$$
   Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$m$$ и $$n$$.

3. $$\begin{aligned} 2a^2-4a+5 > 0 \\ 2(a^2-2a+1)+3 > 0 \\ 2(a-1)^2+3 > 0 \end{aligned}$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.

4. $$\begin{aligned} x^2+x+1 > 0 \\ x^2+x+\frac14+\frac34 > 0 \\ \left(x+\frac12\right)^2+\frac34 > 0 \end{aligned}$$
   Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$x$$.

5. $$\begin{aligned} 4y^2-12 ≥ 12y-21 \\ 4y^2-12y+9 ≥ 0 \\ (2y-3)^2 ≥ 0 \end{aligned}$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$y$$.

6. $$\begin{aligned} a^2+b^2+2 ≥ 2(a+b) \\ a^2+b^2+2-2a-2b ≥ 0 \\ (a-1)^2+(b-1)^2 ≥ 0 \end{aligned}$$
   Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.

7. $$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2+3 ≥ 2(a+b+c) \\ a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c ≥ 0 \\ (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 ≥ 0 \end{aligned}$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

8. $$\begin{aligned} 2a^2+5b^2+2ab+1 > 0 \\ a^2+2ab+b^2+a^2+4b^2+1 > 0 \\ (a+b)^2+a^2+4b^2+1 > 0 \end{aligned}$$
   Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.

9. $$\begin{aligned} x^2+y^2+15 > 6x+4y \\ x^2-6x+y^2-4y+15 > 0 \\ (x-3)^2+(y-2)^2+2 > 0 \end{aligned}$$
   Значит, неравенство верно при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ

Все данные неравенства верны при любых допустимых значениях переменных.