Упр.1128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение: $$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}$$.

Подробный ответ

Рационализуем каждый знаменатель, умножая дробь на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$$
$$\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{8-5}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}$$
$$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{11-8}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}$$
$$\ldots$$
$$\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{50-47}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}$$
$$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}+\ldots+\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3}$$
$$=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3}$$

Так как $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$ получаем:

$$\frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$