Упр.1010 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения $$a$$, при которых не имеет корней уравнение $$(a — 2)x^2 + (2a + 1)x + a = 0$$.

Рассмотрим уравнение

$$(a-2)x^2+(2a+1)x+a=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы при $$a-2\neq 0$$ его дискриминант был отрицательным:

$$D=(2a+1)^2-4(a-2)a.$$

Вычислим:

$$D=4a^2+4a+1-4a^2+8a=12a+1.$$

Тогда

$$12a+1<0,$$

откуда

$$a<-\frac{1}{12}.$$

Проверим случай $$a=2$$: тогда уравнение становится линейным

$$5x+2=0,$$

и имеет корень. Значит, $$a=2$$ не подходит.

Следовательно, уравнение не имеет корней при

$$a<-\frac{1}{12}.$$

Ответ

$$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{12}\right).$$