Упр.118 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

1. $$\frac{1}{6a-4b}-\frac{1}{6a+4b}-\frac{3a}{4b^2-9a^2}=\frac{1}{3a-2b}$$;
2. $$\frac{c+2}{c^2+3c}-\frac{1}{3c+9}-\frac{2}{3c}=0$$.

Найдите значение выражения:

1. $$\frac{6}{5x-20}-\frac{x-5}{x^2-8x+16}$$, если $$x=5$$;
2. $$\frac{2y-1}{2y}-\frac{2y}{2y-1}-\frac{1}{2y-4y^2}$$, если $$y=-2\frac{3}{7}$$.

1. $$\frac{1}{6a-4b}-\frac{1}{6a+4b}-\frac{3a}{4b^2-9a^2}$$
   
   $$=\frac{1}{2(3a-2b)}-\frac{1}{2(3a+2b)}+\frac{3a}{(3a-2b)(3a+2b)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{2(3a-2b)}-\frac{1}{2(3a+2b)}+\frac{3a}{(3a-2b)(3a+2b)}$$
   $$=\frac{3a+2b-3a+2b+6a}{2(3a-2b)(3a+2b)}$$
   $$=\frac{6a+4b}{2(3a-2b)(3a+2b)}$$
   $$=\frac{2(3a+2b)}{2(3a-2b)(3a+2b)}=\frac{1}{3a-2b}.$$

2. $$\frac{c+2}{c^2+3c}-\frac{1}{3c+9}-\frac{2}{3c}$$
   $$=\frac{c+2}{c(c+3)}-\frac{1}{3(c+3)}-\frac{2}{3c}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{c+2}{c(c+3)}-\frac{1}{3(c+3)}-\frac{2}{3c}$$
   $$=\frac{3(c+2)-c-2(c+3)}{3c(c+3)}$$
   $$=\frac{3c+6-c-2c-6}{3c(c+3)}$$
   $$=\frac{0}{3c(c+3)}=0.$$

3. При $$x=5$$:
   $$\frac{6}{5x-20}-\frac{x-5}{x^2-8x+16}$$
   $$=\frac{6}{5(x-4)}-\frac{x-5}{(x-4)^2}.$$

   Подставим $$x=5$$:
   $$\frac{6}{5(5-4)}-\frac{5-5}{(5-4)^2}=\frac{6}{5}-0=\frac{6}{5}.$$

4. При $$y=-2\frac{3}{7}=-\frac{17}{7}$$:
   $$\frac{2y-1}{2y}-\frac{2y}{2y-1}-\frac{1}{2y-4y^2}.$$

   Заметим, что $$2y-4y^2=2y(1-2y)=-2y(2y-1)$$, поэтому
   $$\frac{2y-1}{2y}-\frac{2y}{2y-1}-\frac{1}{2y-4y^2}$$
   $$=\frac{2y-1}{2y}-\frac{2y}{2y-1}+\frac{1}{2y(2y-1)}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(2y-1)^2-4y^2+1}{2y(2y-1)}$$
   $$=\frac{4y^2-4y+1-4y^2+1}{2y(2y-1)}$$
   $$=\frac{2-4y}{2y(2y-1)}=\frac{-2(2y-1)}{2y(2y-1)}=-\frac{1}{y}.$$

   Тогда
   $$-\frac{1}{y}=-\frac{1}{-\frac{17}{7}}=\frac{7}{17}.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{3a-2b}$$; 2) $$0$$; 3) $$\frac{6}{5}$$; 4) $$\frac{7}{17}$$.