Упр.656 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?
- Решите уравнение и выполните проверку:
а) $$x^2 — 2x — 5 = 0$$;
б) $$x^2 + 4x + 1 = 0$$;
в) $$3y^2 — 4y — 2 = 0$$;
г) $$5y^2 — 7y + 1 = 0$$;
д) $$2y^2 + 11y + 10 = 0$$;
е) $$4x^2 — 9x — 2 = 0$$.
Пусть обедало $$x$$ человек. Тогда оплатить смогли $$x-2$$ человека.
Доля каждого из всех обедавших равна $$\frac{175}{x}$$ шиллингов, а доля каждого из тех, кто платил, — $$\frac{175}{x-2}$$ шиллингов. По условию:
$$\frac{175}{x-2}-\frac{175}{x}=10$$
Умножим на $$x(x-2)$$:
$$175x-175(x-2)=10x(x-2)$$
$$175x-175x+350=10x^2-20x$$
$$10x^2-20x-350=0$$
Разделим на $$10$$:
$$x^2-2x-35=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-35)=4+140=144$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 12}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=7$$
По смыслу задачи подходит только $$x=7$$.
а) $$x^2-2x-5=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=4+20=24$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{24}}{2}=1\pm \sqrt{6}$$
Ответ: $$x_1=1+\sqrt{6},\; x_2=1-\sqrt{6}$$.
б) $$x^2+4x+1=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$$
Ответ: $$x_1=-2+\sqrt{3},\; x_2=-2-\sqrt{3}$$.
в) $$3y^2-4y-2=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=16+24=40$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{40}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3}$$
Ответ: $$y_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3},\; y_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$$.
г) $$5y^2-7y+1=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 5\cdot 1=49-20=29$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10}$$
Ответ: $$y_1=\frac{7+\sqrt{29}}{10},\; y_2=\frac{7-\sqrt{29}}{10}$$.
д) $$2y^2+11y+10=0$$
$$D=11^2-4\cdot 2\cdot 10=121-80=41$$
$$y_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4}$$
Ответ: $$y_1=\frac{-11+\sqrt{41}}{4},\; y_2=\frac{-11-\sqrt{41}}{4}$$.
е) $$4x^2-9x-2=0$$
$$D=(-9)^2-4\cdot 4\cdot(-2)=81+32=113$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8}$$
Ответ: $$x_1=\frac{9+\sqrt{113}}{8},\; x_2=\frac{9-\sqrt{113}}{8}$$.
Ответ
Старинная задача: $$7$$ человек.
а) $$x=1\pm \sqrt{6}$$; б) $$x=-2\pm \sqrt{3}$$; в) $$y=\frac{2\pm \sqrt{10}}{3}$$; г) $$y=\frac{7\pm \sqrt{29}}{10}$$; д) $$y=\frac{-11\pm \sqrt{41}}{4}$$; е) $$x=\frac{9\pm \sqrt{113}}{8}$$.
