Упр.491 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значения выражений $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$ и $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}\cdot\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$ являются натуральными числами.
2. Сравните числа:
   а) $$0{,}2\sqrt{200}$$ и $$10\sqrt{8}$$;
   б) $$7\sqrt{\frac{32}{49}}$$ и $$0{,}8\sqrt{50}$$;
   в) $$0{,}5\sqrt{108}$$ и $$9\sqrt{3}$$;
   г) $$\frac{5}{2}\sqrt{263}$$ и $$4{,}5\sqrt{28}$$.

1) Найдём значения выражений:

$$\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}$$
$$7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2,\qquad 7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$$
$$\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3} =\sqrt{(2+\sqrt3)^2}+\sqrt{(2-\sqrt3)^2} =2+\sqrt3+2-\sqrt3=4$$

$$\sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3} =\sqrt{(7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)}$$
$$=\sqrt{49-48}=\sqrt1=1$$

Оба значения — натуральные числа.

2) Сравним числа:

1. $$0{,}2\sqrt{200}=0{,}2\sqrt{100\cdot2}=0{,}2\cdot10\sqrt2=2\sqrt2$$
   $$10\sqrt8=10\sqrt{4\cdot2}=10\cdot2\sqrt2=20\sqrt2$$
   Значит,
   $$0{,}2\sqrt{200}<10\sqrt8$$

2. $$7\sqrt{\frac{32}{49}}=7\cdot\frac{\sqrt{32}}{7}=\sqrt{32}$$
   $$0{,}8\sqrt{50}=\sqrt{0{,}64\cdot50}=\sqrt{32}$$
   Следовательно,
   $$7\sqrt{\frac{32}{49}}=0{,}8\sqrt{50}$$

3. $$0{,}5\sqrt{108}=0{,}5\sqrt{36\cdot3}=0{,}5\cdot6\sqrt3=3\sqrt3$$
   $$9\sqrt3=9\sqrt3$$
   Значит,
   $$0{,}5\sqrt{108}<9\sqrt3$$

4. $$\frac52\sqrt{63}=\frac52\sqrt{9\cdot7}=\frac52\cdot3\sqrt7=7{,}5\sqrt7$$
   $$4{,}5\sqrt{28}=4{,}5\sqrt{4\cdot7}=4{,}5\cdot2\sqrt7=9\sqrt7$$
   Следовательно,
   $$\frac52\sqrt{63}<4{,}5\sqrt{28}$$

Ответ

$$\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}=4,\qquad \sqrt{7+4\sqrt3}\cdot\sqrt{7-4\sqrt3}=1$$
$$0{,}2\sqrt{200}<10\sqrt8;\quad 7\sqrt{\frac{32}{49}}=0{,}8\sqrt{50};\quad 0{,}5\sqrt{108}<9\sqrt3;\quad \frac52\sqrt{63}<4{,}5\sqrt{28}$$