Упр.431 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что числа $$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$ являются взаимно обратными, а числа $$2\sqrt{6}-5$$ и $$\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$$ — противоположными.
2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.

Проверим произведение данных чисел:

$$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1.$$
Значит, числа $$2-\sqrt{3}$$ и $$2+\sqrt{3}$$ взаимно обратные.

Проверим сумму данных чисел:

$$\left(2\sqrt{6}-5\right)+\frac{1}{2\sqrt{6}+5} = \frac{(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)+1}{2\sqrt{6}+5}.$$

$$(2\sqrt{6}-5)(2\sqrt{6}+5)=24-25=-1,$$
поэтому
$$\frac{-1+1}{2\sqrt{6}+5}=0.$$
Значит, числа $$2\sqrt{6}-5$$ и $$\frac{1}{2\sqrt{6}+5}$$ противоположные.

Освободимся от иррациональности в знаменателе:

1. $$\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x\sqrt{5}}{5}$$
2. $$\frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{b}}{b}$$
3. $$\frac{2}{7\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{7y}$$
4. $$\frac{a}{b\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$$
5. $$\frac{4}{\sqrt{a+b}}=\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}$$
6. $$\frac{1}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}$$
7. $$\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$$
8. $$\frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$
9. $$\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

Ответ

$$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1,\qquad (2\sqrt{6}-5)+\frac{1}{2\sqrt{6}+5}=0.$$

$$\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x\sqrt{5}}{5},\ \frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{3\sqrt{b}}{b},\ \frac{2}{7\sqrt{y}}=\frac{2\sqrt{y}}{7y},\ \frac{a}{b\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b^2},\ \frac{4}{\sqrt{a+b}}=\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b},\ \frac{1}{\sqrt{a-b}}=\frac{\sqrt{a-b}}{a-b},\ \frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{6},\ \frac{8}{3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3},\ \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$