Упр.374 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Укажите натуральные значения $$n$$, при которых $$\sqrt{n^2-75}$$ является натуральным числом.
2. Вычислите значение корня:
   
   а) $$\sqrt{810\cdot40}$$;
   
   б) $$\sqrt{10\cdot250}$$;
   
   в) $$\sqrt{72\cdot32}$$;
   
   г) $$\sqrt{8\cdot98}$$;
   
   д) $$\sqrt{50\cdot18}$$;
   
   е) $$\sqrt{2{,}5\cdot14{,}4}$$;
   
   ж) $$\sqrt{90\cdot6{,}4}$$;
   
   з) $$\sqrt{16{,}9\cdot0{,}4}$$.

Пусть $$\sqrt{n^2-75}=x,$$ где $$x\in \mathbb{N}.$$ Тогда

$$n^2-75=x^2,$$

$$n^2-x^2=75,$$

$$\left(n-x\right)\left(n+x\right)=75.$$

Разложим число $$75$$ на пары натуральных множителей:

$$75=1\cdot 75=3\cdot 25=5\cdot 15.$$

Рассмотрим соответствующие системы:

$$\begin{cases} n-x=1\\ n+x=75 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2n=76\\ n=38 \end{cases} \Rightarrow x=37$$

$$\begin{cases} n-x=3\\ n+x=25 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2n=28\\ n=14 \end{cases} \Rightarrow x=11$$

$$\begin{cases} n-x=5\\ n+x=15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2n=20\\ n=10 \end{cases} \Rightarrow x=5$$

Следовательно, натуральные значения $$n$$:

$$n=10,\ 14,\ 38.$$

Вычислим корни:

$$\sqrt{810\cdot 40}=\sqrt{8100\cdot 4}=90\cdot 2=180$$

$$\sqrt{10\cdot 250}=\sqrt{2500}=50$$

$$\sqrt{72\cdot 32}=\sqrt{8\cdot 9\cdot 4\cdot 8}=8\cdot 3\cdot 2=48$$

$$\sqrt{8\cdot 98}=\sqrt{4\cdot 2\cdot 49\cdot 2}=2\cdot 2\cdot 7=28$$

$$\sqrt{50\cdot 18}=\sqrt{25\cdot 2\cdot 9\cdot 2}=5\cdot 2\cdot 3=30$$

$$\sqrt{2{,}5\cdot 14{,}4}=\sqrt{25\cdot 0{,}1\cdot 144\cdot 0{,}1}=5\cdot 0{,}1\cdot 12=6$$

$$\sqrt{90\cdot 6{,}4}=\sqrt{9\cdot 64}=3\cdot 8=24$$

$$\sqrt{16{,}9\cdot 0{,}4}=\sqrt{169\cdot 0{,}1\cdot 4\cdot 0{,}1}=13\cdot 2\cdot 0{,}1=2{,}6$$

Ответ

$$n=10,\ 14,\ 38.$$

а) $$180$$; б) $$50$$; в) $$48$$; г) $$28$$; д) $$30$$; е) $$6$$; ж) $$24$$; з) $$2{,}6$$.