Упр.244 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$m \ne n$$, $$m \ne 0$$ и $$n \ne 0$$, то значение выражения $$\frac{2}{mn}:\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2-\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}$$ не зависит от значений переменных.
2. Упростите выражение:

Преобразуем выражение:

$$\frac{2}{mn}:\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2-\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}$$

Так как

$$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=\frac{n-m}{mn},$$

то

$$\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2=\frac{(n-m)^2}{m^2n^2}.$$

Тогда

$$\frac{2}{mn}:\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)^2=\frac{2}{mn}\cdot\frac{m^2n^2}{(n-m)^2}=\frac{2mn}{(n-m)^2}.$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{2mn}{(n-m)^2}-\frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}.$$

Так как $$(n-m)^2=(m-n)^2,$$ получаем

$$\frac{2mn-(m^2+n^2)}{(m-n)^2}=\frac{-(m^2-2mn+n^2)}{(m-n)^2}=\frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2}=-1.$$

Следовательно, значение выражения не зависит от значений переменных.

Ответ

$$-1$$