Упр.219 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Сократите дробь:
2. Докажите, что если $$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$$, то $$a=b=c$$.

Пусть

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k.$$

Тогда

$$a=kb,\quad b=kc,\quad c=ka.$$

Перемножим эти равенства:

$$abc=k^3abc.$$

Если хотя бы одно из чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$ равно нулю, то из равенства $$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$$ следует, что все три числа равны нулю, то есть $$a=b=c=0.$$

Если же $$abc\neq 0$$, то можно сократить на $$abc$$:

$$k^3=1.$$

Для действительных чисел отсюда получаем $$k=1.$$ Тогда

$$\frac{a}{b}=1,\quad \frac{b}{c}=1,\quad \frac{c}{a}=1,$$

значит,

$$a=b,\quad b=c.$$

Следовательно, $$a=b=c.$$

Ответ

$$a=b=c.$$