Упр.206 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнениям:
   а) $$5x+y-xy=2$$;
   б) $$xy-x+y=8$$.
2. Найдите значение дроби $$\frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2}$$, если $$\frac{x-y}{y}=2$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$5x+y-xy=2$$

$$x(5-y)=2-y$$

$$x=\frac{2-y}{5-y}=1-\frac{3}{5-y}$$

Так как $$x$$ — целое число, то число $$\frac{3}{5-y}$$ тоже должно быть целым. Значит, $$5-y=\pm1,\ \pm3.$$

Отсюда:

$$y=4,\ 6,\ 2,\ 8.$$

Находим соответствующие значения $$x$$:

$$y=4 \Rightarrow x=-2,$$

$$y=6 \Rightarrow x=4,$$

$$y=2 \Rightarrow x=0,$$

$$y=8 \Rightarrow x=2.$$

Итак, пары целых чисел:

$$(-2;4),\ (0;2),\ (2;8),\ (4;6).$$

б) Преобразуем уравнение:

$$xy-x+y=8$$

$$x(y-1)=8-y$$

$$x=\frac{8-y}{y-1}= \frac{7}{y-1}-1$$

Чтобы $$x$$ был целым, число $$\frac{7}{y-1}$$ должно быть целым. Значит, $$y-1=\pm1,\ \pm7.$$

Отсюда:

$$y=0,\ 2,\ -6,\ 8.$$

Находим соответствующие значения $$x$$:

$$y=0 \Rightarrow x=-8,$$

$$y=2 \Rightarrow x=6,$$

$$y=-6 \Rightarrow x=-2,$$

$$y=8 \Rightarrow x=0.$$

Итак, пары целых чисел:

$$(-8;0),\ (-2;-6),\ (0;8),\ (6;2).$$

в) Из условия

$$\frac{x-y}{y}=2$$

получаем:

$$x-y=2y,$$

$$x=3y.$$

Подставим в выражение:

$$\frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2}=\frac{3(3y)^2-(3y)\cdot y+6y^2}{y^2}$$

$$=\frac{27y^2-3y^2+6y^2}{y^2}=\frac{30y^2}{y^2}=30.$$

Ответ

а) $$(-2;4),\ (0;2),\ (2;8),\ (4;6)$$

б) $$(-8;0),\ (-2;-6),\ (0;8),\ (6;2)$$

в) $$30$$