Упр.204 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Выясните, при каких целых $$a$$ дробь $$\frac{a^2-4a+1}{a-2}$$ принимает целые значения, и найдите эти значения.
- Докажите, что при любом целом $$a$$, отличном от нуля, значение дроби $$\frac{5a^2+6}{a^2+1}$$ не является целым числом.
1) Преобразуем первую дробь:
$$\frac{a^2-4a+1}{a-2} = \frac{a^2-4a+4-3}{a-2} = \frac{(a-2)^2-3}{a-2} = a-2-\frac{3}{a-2}.$$
Так как $$a$$ — целое число, то выражение будет целым только тогда, когда дробь $$\frac{3}{a-2}$$ тоже является целым числом. Это возможно, если $$a-2=\pm1,\ \pm3.$$
Тогда получаем:
$$a-2=-3 \Rightarrow a=-1,\qquad a-2=-1 \Rightarrow a=1,\qquad a-2=1 \Rightarrow a=3,\qquad a-2=3 \Rightarrow a=5.$$
Найдём значения дроби:
$$\frac{(-1)^2-4\cdot(-1)+1}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2,$$
$$\frac{1^2-4\cdot1+1}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2,$$
$$\frac{3^2-4\cdot3+1}{3-2}=\frac{-2}{1}=-2,$$
$$\frac{5^2-4\cdot5+1}{5-2}=\frac{6}{3}=2.$$
Значит, при $$a=-1,\,1,\,3,\,5$$ дробь принимает целые значения $$-2,\,2,\,-2,\,2$$ соответственно.
2) Докажем, что при любом целом $$a\ne0$$ значение дроби $$\frac{5a^2+6}{a^2+1}$$ не является целым числом.
Преобразуем:
$$\frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1} = 5+\frac{1}{a^2+1}.$$
При $$a\ne0$$ имеем $$a^2\ge1$$, значит $$a^2+1>1$$. Тогда $$\frac{1}{a^2+1}$$ — правильная дробь, не равная целому числу. Следовательно, вся сумма $$5+\frac{1}{a^2+1}$$ не может быть целым числом.
Ответ
1) При $$a=-1,\,1,\,3,\,5$$ дробь принимает целые значения: $$-2,\,2,\,-2,\,2$$.
2) При любом целом $$a\ne0$$ значение дроби $$\frac{5a^2+6}{a^2+1}$$ не является целым числом.
