Упр.1285 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Функция $$y$$ от $$x$$ задана формулой $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$, где $$ad-bc\ne0$$. Пусть значениям аргумента $$x_1$$, $$x_2$$, $$x_3$$ и $$x_4$$ соответствуют значения функции $$y_1$$, $$y_2$$, $$y_3$$ и $$y_4$$. Докажите, что $$\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}$$.

Подробный ответ

Пусть

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}, \qquad ad-bc\ne 0.$$

Тогда

$$y_i=\frac{ax_i+b}{cx_i+d}\quad (i=1,2,3,4).$$

Найдём разности:

$$y_3-y_1=\frac{ax_3+b}{cx_3+d}-\frac{ax_1+b}{cx_1+d} =\frac{(ax_3+b)(cx_1+d)-(ax_1+b)(cx_3+d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}.$$

Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:

$$y_3-y_1=\frac{(x_3-x_1)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}.$$

Аналогично:

$$y_3-y_2=\frac{(x_3-x_2)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)},$$

$$y_4-y_1=\frac{(x_4-x_1)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_1+d)},$$

$$y_4-y_2=\frac{(x_4-x_2)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}.$$

Теперь вычислим левую часть доказываемого равенства:

$$\frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2} = \frac{(y_3-y_1)(y_4-y_2)}{(y_3-y_2)(y_4-y_1)}.$$

Подставим найденные выражения:

$$\frac{(x_3-x_1)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)} \cdot \frac{(x_4-x_2)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_2+d)} : \frac{(x_3-x_2)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)} \cdot \frac{(x_4-x_1)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}.$$

Сокращая одинаковые множители, получаем:

$$\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}.$$

Следовательно,

$$\frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2} = \frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}.$$