Упр.1189 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Преобразуйте в дробь выражение:

а) $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)\left(a+b\right)^{-1}$$;

б) $$\left(a-b\right)^{-2}\left(a^{-2}-b^{-2}\right)$$.

а) Преобразуем отрицательные степени в дроби:

$$(a^{-1}+b^{-1})(a+b)^{-1} = \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\cdot \frac{1}{a+b}$$

$$= \frac{a+b}{ab}\cdot \frac{1}{a+b} = \frac{1}{ab}$$

б) Аналогично:

$$(a-b)^{-2}(a^{-2}-b^{-2}) = \frac{1}{(a-b)^2}\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)$$

$$= \frac{1}{(a-b)^2}\cdot \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} = \frac{1}{(a-b)^2}\cdot \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2}$$

Так как $$b-a=-(a-b)$$, получаем:

$$\frac{(b-a)(b+a)}{(a-b)^2a^2b^2} = -\frac{a+b}{(a-b)a^2b^2} = \frac{a+b}{a^2b^2(b-a)}$$

Ответ

а) $$\frac{1}{ab}$$;

б) $$\frac{a+b}{a^2b^2(b-a)}$$.