Упр.1120 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Функция задана формулой $$f(x)=-1{,}5x+6$$. При каких значениях $$x$$ выполняются условия $$0\leq f(x)\leq 3$$? Получите ответ алгебраическим способом и проиллюстрируйте на графике.
2. Задание учебника 2019 года. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению $$x^2-y^2=69$$.

1) Решим неравенство:

$$0 \le f(x) \le 3,$$

где $$f(x)=-1{,}5x+6.$$ Тогда

$$0 \le -1{,}5x+6 \le 3.$$

Вычтем 6 из всех частей:

$$-6 \le -1{,}5x \le -3.$$

Разделим на $$-1{,}5$$. При делении на отрицательное число знаки неравенств меняются:

$$4 \ge x \ge 2,$$

то есть

$$2 \le x \le 4.$$

Следовательно, условие $$0 \le f(x) \le 3$$ выполняется при $$2 \le x \le 4.$$

На графике это соответствует отрезку прямой между точками $$x=2$$ и $$x=4$$.

2) Найдём все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению:

$$x^2-y^2=69.$$

Разложим на множители:

$$(x-y)(x+y)=69.$$

Так как $$69=1\cdot 69=3\cdot 23,$$ рассмотрим разложения на натуральные множители:

$$\begin{cases} x-y=1,\\ x+y=69 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=3,\\ x+y=23 \end{cases}$$

Из первого случая:

$$2x=70,\quad x=35,\quad y=34.$$

Из второго случая:

$$2x=26,\quad x=13,\quad y=10.$$

Других натуральных решений нет.

Ответ

$$2 \le x \le 4.$$

$$(35;34),\ (13;10).$$