Упр.910 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на $$2\ \text{ц}$$ с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали $$180\ \text{ц}$$ гречихи, а во втором только $$160\ \text{ц}$$, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на $$1\ \text{га}$$ больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?
- Докажите, что $$\sqrt{(a+c)(b+d)} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, $$d>0$$.
Пусть $$x$$ га — площадь первого хозяйства, тогда $$x+1$$ га — площадь второго.
Тогда урожайность первого хозяйства равна $$\frac{180}{x}$$, а второго — $$\frac{160}{x+1}$$.
По условию в первом хозяйстве урожайность на 2 ц с гектара больше, чем во втором, значит:
$$\frac{180}{x}-\frac{160}{x+1}=2$$
Умножим обе части на $$x(x+1)$$:
$$180(x+1)-160x=2x(x+1)$$
$$180x+180-160x=2x^2+2x$$
$$2x^2-18x-180=0$$
$$x^2-9x-90=0$$
Найдём корни уравнения:
$$D=81+360=441,\quad \sqrt{D}=21$$
$$x_1=\frac{9-21}{2}=-6,\quad x_2=\frac{9+21}{2}=15$$
Так как площадь не может быть отрицательной, подходит только $$x=15$$.
Тогда площадь второго хозяйства:
$$15+1=16$$
Урожайность первого хозяйства:
$$\frac{180}{15}=12$$
Урожайность второго хозяйства:
$$\frac{160}{16}=10$$
Докажем неравенство:
$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd},\quad a>0,\ b>0,\ c>0,\ d>0.$$
Возведём обе части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, это допустимо:
$$(a+c)(b+d)\ge (\sqrt{ab}+\sqrt{cd})^2$$
$$ab+ad+bc+cd\ge ab+cd+2\sqrt{abcd}$$
$$ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}$$
Но по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
$$\frac{ad+bc}{2}\ge \sqrt{ad\cdot bc}=\sqrt{abcd}$$
Следовательно,
$$ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}$$
Значит,
$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$
Ответ
Урожайность первого хозяйства — 12 ц/га, второго — 10 ц/га.
Неравенство доказано.
