Упр.907 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Найдите пересечение и объединение множеств $$X$$ и $$У$$, если:
   а) $$X$$ — множество простых чисел, $$У$$ — множество составных чисел;
   б) $$X$$ — множество целых чисел, кратных $$5$$, $$У$$ — множество целых чисел, кратных $$15$$.
2. Докажите, что при $$a > 0$$ и $$b > 0$$ верно неравенство:
   а) $$(a + b)(ab + 16) \geq 16ab$$;
   б) $$(a^2 + 4b)(4b + 25) \geq 80ab$$.

а) Простые числа и составные числа не имеют общих элементов, значит

$$X \cap Y = \varnothing.$$

Любое простое или составное число является натуральным числом, поэтому

$$X \cup Y = Z.$$

б) Все числа, кратные $$15$$, кратны и $$5$$, значит множество $$Y$$ является подмножеством множества $$X$$.

Следовательно,

$$X \cap Y = Y,$$

$$X \cup Y = X.$$

а) Докажем неравенство

$$(a+b)(ab+16)\ge 16ab.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},$$

$$\frac{ab+16}{2}\ge \sqrt{16ab}=4\sqrt{ab}.$$

Тогда

$$(a+b)(ab+16)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 8\sqrt{ab}=16ab.$$

б) Докажем неравенство

$$(a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab.$$

Снова применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{a^2+4b}{2}\ge \sqrt{a^2\cdot 4b}=2a\sqrt{b},$$

$$\frac{4b+25}{2}\ge \sqrt{4b\cdot 25}=10\sqrt{b}.$$

Тогда

$$(a^2+4b)(4b+25)\ge 4a\sqrt{b}\cdot 20\sqrt{b}=80ab.$$

Ответ

а) $$X\cap Y=\varnothing,\quad X\cup Y=Z.$$

б) $$X\cap Y=Y,\quad X\cup Y=X.$$

$$(a+b)(ab+16)\ge 16ab, \qquad (a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab.$$