Упр.728 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Периметр прямоугольника равен $$66\text{ см}$$. Его длина в $$10$$ раз больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.
2. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
   
   а) $$3(a+1)+a<4(2+a)$$;
   б) $$(7p-1)(7p+1)<49p^2$$;
   в) $$(a-2)^2>a(a-4)$$;
   
   г) $$(2a+3)(2a+1)>4a(a+2)$$.

Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, а ширина — $$b$$ см. Тогда по условию

$$2(a+b)=66,$$

а также

$$a=10b.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 2(a+b)=66,\\ a=10b. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на $$2$$:

$$a+b=33.$$

Подставим $$a=10b$$:

$$10b+b=33,$$

$$11b=33,$$

$$b=3.$$

Тогда

$$a=10\cdot 3=30.$$

Значит, стороны прямоугольника: $$3$$ см и $$30$$ см.

Докажем неравенства.

а)

$$3(a+1)+a=3a+3+a=4a+3,$$

$$4(2+a)=8+4a=4a+8.$$

Так как $$4a+3<4a+8,$$ то

$$3(a+1)+a<4(2+a).$$

б)

$$(7p-1)(7p+1)=49p^2-1.$$

Так как $$49p^2-1<49p^2,$$ то

$$(7p-1)(7p+1)<49p^2.$$

в)

$$(a-2)^2=a^2-4a+4,$$

$$a(a-4)=a^2-4a.$$

Тогда

$$a^2-4a+4>a^2-4a,$$

значит,

$$(a-2)^2>a(a-4).$$

г)

$$(2a+3)(2a+1)=4a^2+2a+6a+3=4a^2+8a+3,$$

$$4a(a+2)=4a^2+8a.$$

Следовательно,

$$4a^2+8a+3>4a^2+8a,$$

то есть

$$(2a+3)(2a+1)>4a(a+2).$$

Ответ

$$3\text{ см и }30\text{ см};$$ а) верно; б) верно; в) верно; г) верно.